ملخصات دروس الرياضيات

جذر تربيعي
الجذر التربيعي لرقم (X) هو الرقم (Y)الذي اذا ضرب في نفسه يساوى الرقم المقصود , .
الجذر التربيعي للعدد المربع الكامل. 5×5 = 25 = 25. نقول: 5×5 هي عملية تربيع للعدد 5
لا يوجد جذر تربيعي للأعداد السالبة ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية
الأرقام التي لها جذر تربيعي بعد الواحد بالتسلسل:
• 1 + 3 = 4 أول رقم له جذر تربيعي
• 1 + 3 + 5 = 9 ثاني رقم له جذر تربيعي
• 1 + 3 + 5 + 7 = 16 ثالث رقم له جذر تربيعي
• 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 رابع رقم له جذر تربيعي
• 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 خامس رقم له جذر تربيعي
أس
أس (الترقيه) هو عملية رياضية ، وكتبت ان تشمل رقمين ، اي القاعده والداعية ن. الترقيه يقابل ضرب المتكرر :
الأس يستخدم بشكل واسع في العديد من المجالات ، بما فيها الاقتصاد ، وعلم الاحياء والكيمياء والفيزياء وعلوم الحاسوب ، مع تطبيقات مثل النمو السكاني ، حركيه التفاعل الكيميائي ، وموجة التصرفات ، ومفتاح الترميز.
أعداد أولية فيما بينها
يكون عددان أوليان فيما بينهما عندما يكون القاسم المشترك الاكبر بينهما و الذي يمكن أيجاده باستعمال خوارزمية اقليدس، مساويا للعدد 1. كما هو الشأن على سبيل المثال لا الحصر مع العددين 15 و 32.
خصائص
متساوية بيزوت
العددان النسبيان a و b أوليان فيما بينهما إذا و فقط إذا وجد عددان نسبيان x و y بحيث ax + by = 1.
مبرهنة كوس
إذا كان a و b أوليان فيما بينهما و a يقسم الجذاء bc، ف a يقسم c.
مبرهنة الكاشي
شكل. 1 - المفاهيم المستعملة في مثلث ما.
مبرهنة الكاشي خاصة بهندسة المثلثات و هي تعميم لمبرهنة فيتاغورس في المثلثات التي ليست لها زاوية قائمة: و هي تربط الضلع الثالث لمثلث بالضلعين الآخرين و جيب تمام الزاوية المكونة لهما.
نعتبر مثلث ABC, حيث نستعمل المفاهيم الموجودة في الشكل1: من جهة α, β و γ بالنسبة للزوايا, و من جهة أخرى a, b و c بالنسبة للأضلاع. مبرهنة الكاشي هي:
.تاريخ
شكل. 2 - مثلث ABC مع ارتفاع BH
في كتاب العناصر لإقليدس, نجد مقاربة هندسية لتعميم مبرهنة فيتاغورس: نجد في الكتاب2 العبارتين 12 و 13, حيث يتم التطرق لحالة مثلث عادي بزاوية منفرجة و في مثلث عادي بزوايا حادة. لكن عدم وجود الدوال المثلثية (آنذاك) و كذلك الجبر أدى إلى استعمال المساحات.
فالعبارة 12 : مربع الضلع الذي يحمل الزاوية المنفرجة أكبر من مربعي الضلعين الآخرين: و باستعمال المثلث ABC بزاوية منفرجة في A و ارتفاع H (شكل2) الصيغة تصبح: AB² = CA² + CB² + 2 CA CH.
و كان يجب انتظار العرب المسلمين لتظهر الدوال المثلثية لرؤية المبرهنة في تطورها: فالفلكي و الرياضي البتاني عمم نتيجة إقليدس في الهندسة الفضائية و التي مكنت من القيام بحساب المسافات بين النجوم. و في نفس الوقت تم إنشاء جداول للدوال المثلثية و التي أتاحت للكاشي صياغة المبرهنة في شكلها النهائي.
تطبيقات
مبرهنة الكاشي في تعميم لمبرهنة فيتاغورس, عندما تكون الزاوية :
γ قائمة, أو عندما يكون: cosγ = 0, المبرهنة تصبح: ,
و عكسيا.
شكل. 3 - تطبيق المبرهنة :الكاشي زاوية أو ضلع مجهول.
النظرية تستعمل في المثلثات(انظر شكل. 3)حل مثلث,أي تحديد:
• الضلع الثالث لمثلث نعرف فيه زاوية و الضلعين المكونين لها:
;
• زوايا مثلث نعرف فيه الأضلاع:
.
البرهنة
بتقسيم المساحات
من بين طرق البرهنة حساب المساحات، حيث يتم ملاحظة ما يلي:
• a2, b2 و c2 هي مساحات لمربع أضلاعه على التوالي a, b و c
• ab | cosγ | و هو ل متوازي أضلاع من جهةa و b يكونان زاوية π / 2 − γ, تغيير إشارة: cosγ تصبح الزاوية γ منفرجة تجعل دراسة الحالات ضرورية.
شكل. 4أ - البرهنة بالنسبة للزوايا الحادة : « طريقة التقسيم ».
الشكل 4أ (جانبه) يقسم سباعي بكيفيتين مختلفتين حيث تتم البرهنة في حالة زاوية حادة. يدخل هنا :
• بالوردي, lالمساحات a2, b2 في اليسار, و المساحات 2abcosγ و c2 في اليمين ;
• بالأزرق, المثلث ABC, في اليمين كما في اليسار ;
• بالرمادي, بعض المثلثات الإضافية, متطابقة مع المثلث ABC و بنفس العدد في التقسيمين.
تساوي المساحات في اليمين و اليسار يعطي
.
الشكل. 4ب - البرهنة بالنسبة للزوايا المنفرجة : « طريقة التقسيم ».
الشكل 4ب (جانبه) يقسم سداسي بكيفيتين مختلفتين بكيفية برهن في حالة زاوية منفرجة. الشكل يبين
• بالوردي, المساحات a2, b2 و − 2abcosγ في اليسار, و المساحات c2 في اليمين ;
• بالأزرق, مرتين المثلث ABC, في اليمين كما في اليسار.
تساوي المساحتين يمينا و يسارا يعطي
.
باستعمال نظرية فيتاغورس
شكل. 5 - البرهنة باستعمال العلاقات المثلثية
الشكل 5 (جانبه) يبين طريقة البرهنة باستعمال مبرهنة فيتاغورس في مثلث قائم الزاوية ناتج عن طريق الارتفاع :
بنفس الطريقة نبرهن في حالة مثلث بزاوية منفرجة
مبرهنة فيثاغورس
الصيغة الهندسية لمبرهنة فيثاغورس
مبرهنة فيثاغورس هي مبرهنة في الهندسة الإقليدية، تقول أنه في أي مثلث قائم الزاوية يكون مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة يساوي مربع طول الوتر. سميت هذه المبرهنة على العالم فيثاغورس الذي كان رياضيا، و فيلسوفا، و عالم فلك في اليونان القديمة.
المبرهنة
مبرهنة فيثاغورس المباشرة
وهي الشكل الأكثر شهرة لمبرهنة فيثاغورس:
« في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة. »
في مثلث ABC قائم الزاوية في C، أي أن [AB] هو الوتر، نضع AB=c و AC=b و BC=a. لدينا:
أو
تمكن مبرهنة فيثاغورس من حساب طول أحد أضلاع مثلث قائم الزاوية بمعرفة طولي الضلعين الآخرين. مثلا: إذا كان b=3 و a=4 فإن
ومنه .
مثلوث ثلاثة أعداد صحيحة تمثل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية، مثل (5 ،4 ،3)، يسمى مثلوث فيثاغورس.
[مبرهنة فيثاغورس العكسية
نص مبرهنة فيثاغورس العكسية (العبارة 47 من الجزء الأول من كتاب العناصر لإقليدس):
« في مثلث، إذا كان مربع طول أطول ضلع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن هذا المثلث قائم الزاوية. الزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة لأطول ضلع، و الضلع الأطول هو الوتر. »
مبرهنة فيثاغورس هي خاصية مميزة للمثلث القائم الزاوية.
بتعبير آخر:
« في مثلث ABC، إذا كان AC²+BC²=AB² فإن هذا المثلث قائم الزاوية في C .»
تاريخ المبرهنة
عرفت خاصية فيثاغورس في العصور القديمة، والدلائل على ذلك ما زالت موجودة إلى الآن. يكفي مثلا أن نلاحظ الحبل ذا ثلاث عشرة عقدة الذي كان المسّاحون المصريون يستعملونه والذي نجد له صورا في عدة تصاوير للأعمال الزراعية. يسمح هذا الحبل، علاوة على قياس المسافات، بإنشاء زوايا قائمة دون الحاجة إلى الكوس، إذ تسمح العقد الثلاث عشرة (والمسافات الاثنتي عشرة الفاصلة بين العقد) من إنشاء مثلث أبعاده (5 ،4 ،3)، مثلث يتضح أنه قائم الزاوية. ظل هذا الحبل أداة هندسية طيلةالعصور الوسطى.
أقدم تمثيل لمثلوثات فيثاغورس (مثلث قائم الزاوية وأطوال أضلاعه أعداد صحيحة طبيعية) نجده في الميغاليثات (2500 سنة قبل الميلاد). كما أظهرت آثار البابليين (لوحة Plimpton، حوالي سنة 1800 قبل الميلاد) أنه قبل ظهور فيثاغورس بأكثر من 1000 سنة، عرف المهندسون وجود مثلوثات فيثاغورس.
لكن بين اكتشاف الخاصية «نلاحظ أن بعض المثلثات القائمة الزاوية تحقق هذه الخاصية»، تعميمها «يبدو أن كل المثلثات القائمة الزاوية تحقق هذه الخاصية» وإثباتها «كل المثلثات القائمة الزاوية (فقط) في المستوى الإقليدي تحقق هذه الخاصية» عدة أجيال.
برهان بصري لمثلث أطوال أضلاعه (3، 4، 5) في كتاب Chou Pei Suan Ching (القرن الثاني-القرن الخامس قبل الميلاد)
ندرة الدلائل التاريخية تجعلنا غير قادرين على نسب المبرهنة إلى فيثاغورس بشكل قاطع، مع أننا على يقين بأنه صاحبها. أول برهان مكتوب نجده في كتاب العناصر لإقليدس بالصيغة التالية:
« في المثلثات القائمة الزاوية، مربع طول الضلع المقابل للزاوية القائمة يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. »
مع صيغتها العكسية: « إذا كان مربع طول ضلع في مثلث يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية المحصورة بين هذين الضلعين قائمة. »
و مع ذلك، فتعليقات Proclus على كتاب العناصر لإقليدس (حوالي 400 سنة بعد الميلاد) تشير إلى أن إقليدس لم يقم سوى بإعادة تدوين برهان قديم نسبه Proclus إلى فيثاغورس.
إذن، يمكننا أن نؤرخ البرهان على هذه الخاصية ما بين القرن الثالث والقرن السادس قبل الميلاد. يحكى أنه في تلك الفترة اكتشفت الأعداد اللاجذرية. بالفعل، يمكن بسهولة إنشاء مثلث قائم الزاوية و متساوي الساقين طول أحدهما 1، فيكون مربع طول الوتر هو 2. برهان بسيط أيام فيثاغورس يثبت أن العدد 2 ليس مربعا لعدد جذري. يقال أن هذا الإكتشاف تم إبقاؤه سرا من طرف المدرسة الفيثاغورسية تحت تهديد بالقتل.
إلى جانب هذه الإكتشافات، يبدو أن هذه المبرهنة عرفت في الصين أيضا. نجد إشارة إلى وجود هذه المبرهنة في واحد من أقدم المؤلفات الصينية في الرياضيات، كتاب Zhoubi suanjing. هذا المؤلف، كتب على الأغلب في Han Dynasty (أعظم الفترات في تاريخ الصين)، (206 قبل الميلاد، 220 سنة بعد الميلاد) يضم التقنيات المستعملة في فترة Zhou Dynasty. (القرن العاشر قبل الميلاد، 256 قبل الميلاد). نجد برهان هذه الخاصية، التي تحمل في الصين اسم مبرهنة جوجو Gougu (القاعدة والإرتفاع)، في كتاب Jiuzhang suanshu (الفصول التسعة في فن الرياضيات، 100 سنة قبل الميلاد، 50 سنة بعده)، برهان مختلف كليا عن برهان إقليدس.
كما نجد في الهند برهانا عدديا للخاصية يعود إلى القرن الثالث قبل الميلاد (برهان بإستعمال أعداد خاصة، لكن يمكن تعميمه بسهولة).
رغم أنها خاصية هندسية، إلا أنها أخذت منحى حسابيا عند البحث عن جميع مثلوثات أعداد صحيحة طبيعية تمثل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية: أي مثلوثات فيثاغورس. هذا البحث فتح الباب لبحث آخر: البحث عن المثلوثات التي تحقق an + bn = cn، بحث قاد إلى مظنونة فيرما التي تم حلها سنة 1994 على يد الرياضي Andrew Wiles.
توجد في الحقيقة العديد من البراهين على هذه الخاصية، مثل برهان إقليدس، و برهان الصينيين، مرورا ببرهان الهنود، و برهان دافينشي و حتى برهان الرئيس الأمريكي James Abram Garfield. كما لا يفوتنا ذكر الكاشي الذي عمم هذه المبرهنة على كل المثلثات: مبرهنة الكاشي.
براهين
بلا شك، هذه المبرهنة لديها أكبر عدد معروف من الإثباتات (كما هو الحال بالنسبة لخاصية Quadratic reciprocity). ها هي بعض منها:
برهان إقليدس
قبل البرهنة على خاصية فيثاغورس، يجب إثبات عبارتين. العبارة الأولى التي يجب إثباتها (العبارة 35 من الجزء الأول من كتاب العناصر) هي تساوي مساحتي متوازيي أضلاع لهما نفس القاعدة و نفس الإرتفاع:
« متوازيات الأضلاع التي لها قاعدة مشتركة، و محصورة بين نفس المستقيمين المتوازيين، لها نفس المساحة. »
لنعتبر متوازيي الأضلاع ABCD و BCFE، لديهما قاعدة مشتركة [BC]، و محصوران بين المتوازيين (BC) و (AF)، لاحظ أن AD=BC (لأنهما قاعدتا متوازي الأضلاع ABCD)، و BC=EF (لأنهما قاعدتا متوازي الأضلاع BCFE)، و بالتالي AD=EF.
توجد ثلاثة حالات فقط (مبينة في الشكل جانبه) لموضع النقطة E بالنسبة إلى D : يمكن أن توجد E على يسار D، منطبقة على D أو على يمين D. سندرس كل حالة:
1. إذا كانت E على يسار D فإن [ED] مشتركة بين كل من [AD] و [EF]، و منه نستطيع التحقق من أن المسافتين AD و EF متساويتين. لاحظ أن الضلعين [AB] و [DC] متقايسان (لأنهما قاعدتان متقابلتان في متوازي الأضلاع ABCD)، و النقط D، E، A و F مستقيمية، الزاويتان و متقايستان. كنتيجة لهذا فالمثلثان BAE و CDF متقايسان، لأن لهما ضلعان متقايسان و الزاويتان المحصورتان متقايستان. إذن، متوازيي الأضلاع ABCD و CBEF ليسا سوى ترتيبين مختلفين من شبه المنحرف BEDC و المثلث BAE (أو CDF).
2. إذا كانت E منطبقة على D، سنجد بطريقة مشابهة أن المثلثين BAE و CDF متقايسان، و أنه من الممكن الحصول على متوازيي الأضلاع ABCD و BCFE بإضافة المثلث BAE (أو CDF) إلى المثلث المشترك BCD.
3. إذا كانت E على يمين D، لدينا AD=EF، و بإضافة DE لكل منهما نجد أن AE=DF. و بطريقة مشابهة لتلك التي إستعملناها في 1 و 2، يمكن أن نبين أن المثلثين BAE و CDF، و أيضا شبهي المنحرف BADG و CGEF، متقايسان. إذن من الواضح أنه يمكن الحصول على متوازيي الأضلاع ABCD و CBEF عن طريق إضافة المثلث المشترك BCG إلى شبه المنحرف BADG (أو CGEF).
إستبدال متوازي أضلاع بمتوازي أضلاع آخر له نفس القاعدة و الإرتفاع يعرف في الرياضيات بإسم القص. هذا الأخير مهم جدا في إثبات العبارة التالية:
« إذا كان لمتوازي أضلاع و لمثلث نفس القاعدة، و محصورين بين مستقيمين متوازيين، فإن مساحة متوازي الأضلاع هي ضعف مساحة المثلث. »
لنعتبر متوازي أضلاع ABCD، و لتكن E نقطة من نصف المستقيم (AD] و لا تنتمي إلى القطعة [AD]. نريد إثبات أن مساحة ABCD هي ضعف مساحة BEC. بعد رسم القطر [AC]، نلاحظ أن مساحة ABCD هي ضعف مساحة ABC. و لدينا مساحة ABC تساوي مساحة BEC (لأن لهم نفس القاعدة). إذن ضعف مساحة BEC هي ضعف مساحة ABC، أي ABCD. . و منه مساحة ABCD هي ضعف مساحة BEC المثلث. يتبع